Question

在四棱锥中，，，平面，为 的中点，．

(1)求四棱锥的体积；
(2)若为的中点，求证：平面平面；
(3)求二面角的大小．

Answer 1

1）解：在中，，，∴，……1分
在中，，，∴，…………2分
∴…………3分
则…………………………………………4分
（2）解法一∵平面，∴…………………………5分
又， ，  …………………………6分
∴平面………………………7分    
∵、分别为、中点，
∴   ∴平面………………………8分
∵平面，∴平面平面……9分

（3）解法一：取的中点，连结，则，
∴平面，过作于，连接，…10分
∵AC，，且，∴…11分
则为二面角的平面角。  ……12分
∵为的中点，，，
∴，又，  ……13分
∴，故
即二面角的大小为30⁰……………14分
（2）解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz    ………………5分

A（0,0,0）   B（1,0,0）     
      ……6分
，， …7分
设平面AEF的一个法向量为
由 取，得x=1，即   …8分
又平面PAC的一个法向量为  ……9分
    ∴平面平面   ……10分
（3）解法二：易知平面ACD的一个法向量为  ……11分
设平面AEF的一个法向量为
由，取，得,…12分
  ……13分
∴结合图形知二面角的大小为30⁰……………14分

本题考查用分割法求出棱锥的底面积，直线与平面垂直的判定以及求二面角的大小的方法．
（Ⅰ）把四边形面积分成2个直角三角形面积之和，代入棱锥体积公式进行计算．
（Ⅱ）先证 CD⊥平面PAC，由三角形中位线的性质得EF∥CD，得到EF⊥平面PAC，从而证得平面PAC⊥平面AEF．
（Ⅲ）由三垂线定理作出∠EQM为二面角E-AC-D的平面角，并证明之，解直角三角形EQM，求出∠EQM的大小．