题目内容
10．已知曲线$y=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{4}{3}$．（1）求曲线过点P（2，4）的切线方程；
（2）求满足斜率为1的曲线的切线方程．
分析 （1）设切点为（m，n），求出导数，求得切线的斜率，切线的方程，代入点P坐标，解方程可得切点的横坐标，进而得到切线的方程；
（2）设出切点，可得切线的斜率，求得切点的横坐标，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．
解答 解：（1）设切点为（m，n），
函数$y=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{4}{3}$的导数为y′=x2，
可得切线的斜率为k=m2，
切线的方程为y-n=m2（x-m），
即为y-$\frac{1}{3}$m3-$\frac{4}{3}$=m2（x-m），
代入点P，可得4-$\frac{1}{3}$m3-$\frac{4}{3}$=m2（2-m），
化简为m3-3m2+4=0，解得m=-1或2，
即有切线的斜率为1或4，
可得切线的方程为y=4x-4或y=x+2：
（2）设切点为（x0，y0），
可得切线的斜率为k=x02=1，
解得x0=±1，切点为（1，$\frac{5}{3}$），（-1，1），
所求切线的方程为y-$\frac{5}{3}$=x-1或y-1=x+1，
即有3x-3y+2=0或x-y+2=0．
点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于中档题．
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| A． | f（x）=x2+2x | B． | f（x）=cosx | C． | f（x）=2x-1 | D． | f（x）=$\frac{1}{2}$（ex-e-x） |