Question

(北京海淀模拟)如下图，已知平行六面体的底面为正方形，、O分别为上、下底面的中心，且在底面ABCD上的射影是O．

(1)求证：平面⊥平面ABCD；

(2)若点E，F分别在棱，BC上，且，问点F在何处时，EF⊥AD?

(3)若，求二面角C－－B的大小(用反三角函数表示)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)连结AC，BD，，则O为AC，BD的交点，为，的交点．由平行六面体的性质知：且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 又∵⊥平面ABCD， ∴平面ABCD， 又∵平面， ∴平面平面ABCD． (2)作EH⊥平面ABCD，垂足为H，则，点H在直线AC上，且EF在平面ABCD上的射影为HF．由三垂线定理及其逆定理， 知． ∵，∴AH=2HO， 从而CH=2AH．又∵HF∥AB， ∴CF=2BF，从而． ∴当F为BC的三等分点(靠近B)时，有EF⊥AD． (2)过点O作，垂足为M，连结BM． ∵⊥平面ABCD， ∴⊥OB． 又∵OB⊥OA．∴OB⊥平面，由三垂线定理得． ∴∠OMB为二面角的平面角， 在Rt△AMB中，∠MAB=60°， ∴． 又∵，∴， ∴． ∴二面角的大小为．