Question

6．曲线y=ln2x到直线2x-y+1=0距离的最小值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 求出曲线的导数，利用导数值为2，求出切点坐标，然后求解曲线y=ln2x到直线2x-y+1=0距离的最小值．

解答 解：曲线y=ln2x到直线2x-y+1=0距离的最小值，
就是与直线2x-y+1=0平行的直线与曲线y=ln2x相切是的切点坐标与直线的距离，
曲线y=ln2x的导数为：y′=$\frac{1}{x}$，切点坐标为（a，f（a）），可得$\frac{1}{a}=2$，
解得a=$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）=0，
切点坐标为：（$\frac{1}{2}$，0），
曲线y=ln2x到直线2x-y+1=0距离的最小值为：$\frac{|2×\frac{1}{2}-0+1|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．