Question

（本题满分13分）已知函数，各项均不相等的有限项数列的各项满足.令，且，例如：.

（Ⅰ）若，数列的前n项和为Sn，求S19的值；

（Ⅱ）试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由.

①存在数列使得；②如果数列是等差数列，则；

③如果数列是等比数列，则.

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）①对；②错；③对.理由见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ），是周期为4的周期，且，，.（Ⅱ）① 满足时，便成立.②易找到例子说明是错的，比如－0.2，－0.1，0，0.1，0.2，这是等差数列，其和为0，从而.③首先是奇函数，由于，因此只需考查时的性质，此时都是增函数，从而在上递增，所以在上单调递增.若，则，所以，即，所以.

同理若，可得，这样可得.由此可知，数列各项同号时结论成立.若各项符号不一致，则公比且，等比数列各项是正负交替出现，这时分是偶数和是奇数讨论符号即可.

试题解析：（Ⅰ） 1分

3分

5分

（Ⅱ）①显然是对的，只需满足 7分

②显然是错的，若， 9分

③也是对的，理由如下： 10分

首先是奇函数，因此只需考查时的性质，此时都是增函数，从而在上递增，所以在上单调递增。

若，则，所以，即，所以.

同理若，可得，

所以时，.

由此可知，数列是等比数列，各项符号一致的情况显然符合；

若各项符号不一致，则公比且，恒不为零.

若是偶数，符号一致，

又符号一致，所以符合；

若是奇数，可证明总和符号一致”，

同理可证符合； 12分

综上所述，①③是真命题；②是假命题 13分

考点：函数与数列.