Question

已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于M(

3π

4

，0)对称，且在区间[0，

π

2

]上是单调函数，则满足条件的实数对（ω，φ）有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：由f（x）是偶函数可得?的值，图象关于点M(

3π

4

，0) 对称可得函数关系 f(

3π

4

-x)=-f(

3π

4

+x)，进而可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．

解答：解：由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+∅）=sin（ωx+∅），
所以-cos∅sinωx=cos∅sinωx，对任意x都成立，且ω＞0，
所以得cos∅=0．
依题设0≤∅≤π，所以解得∅=

π

2

．
所以函数y=sin（ωx+

π

2

）．
由f（x）的图象关于点M对称，可得f(

3π

4

-x)=-f(

3π

4

+x)，
取x=0，可得f（

3π

4

）=sin（

3ωπ

4

+

π

2

）=cos

3ωπ

4

=0，
又因为ω＞0，
所以

3wπ

4

=

π

2

+kπ，k=1，2，3，
所以ω=

2

3

（2k+1），k=0，1，2，
当k=0时，ω=

2

3

，则f（x）=sin（

2

3

x+

π

2

）在区间[0，

π

2

]上是单调减函数，
当k=1时，ω=2，则f（x）=sin（2x+

π

2

）在区间[0，

π

2

]上是单调减函数，
当k≥2时，f（x）=sin（ωx+

π

2

）在区间[0，

π

2

]上不是单调函数，
所以ω=

2

3

或者ω=2．
故选B．

点评：本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．