Question

已知椭圆＋y²＝1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴．求证：直线AC经过线段EF的中点．

Answer 1

答案：
解析：

证明：方法一　依题设知椭圆的半焦距c＝1，右焦点为F(1，0)，右准线方程为x＝2，点E的坐标为(2，0)，EF的中点为N(，0)(如图所示)． 　　若AB垂直于x轴，则A(1，y1)，B(1，－y1)，C(2，－y1)，∴AC的中点为N，即AC过EF的中点N． 　　若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，A由BC∥x轴知点B不在x轴上，故直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0． 　　记A(x1，y1)和B(x2，y2)，则x1、x2满足二次方程＋k2(x－1)2＝1， 　　即(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0， 　　∴x1＋x2＝，x1x2＝． 　　又＝2－2＜2，得x1－≠0，故直线AN、CN的斜率分别为k1＝＝，k2＝＝2k(x2－1)． 　　∴k1－k2＝2k·． 　　∵(x1－1)－(x2－1)(2x1－3) 　　＝3(xl＋x2)－2x1x2－4 　　＝［12k2－4(k2－1)－4(1＋2k2)］＝0， 　　∴k1－k2＝0，即k1＝k2． 　　故A、C、N三点共线． 　　所以，直线AC经过线段EF的中点N． 　　方法二　如上图，记直线AC与x轴的交点为点N，过点A作AD⊥l，点D是垂足．因为点F是椭圆的右焦点，直线l是右准线，BC∥x轴，即BC⊥l，根据椭圆几何性质，得＝＝e(e是椭圆的离心率)． 　　∵AD∥FE∥BC． 　　∴＝＝，＝， 　　即｜EN｜＝＝e· 　　＝＝｜FN｜． 　　∴N为EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N． 　　点评：本题主要考查椭圆和直线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力．以上两种证法均为通法，但证法二充分挖掘椭圆几何性质，数形结合，更为直观简捷，所以两法相比较，证法二较好．