Question

（2010•成都模拟）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=3a_n-1，n∈N^*
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知2S_n=3a_n-1，得出2S_n-1=3a_n-1-1，（n≥2），两式相减，并移向整理得出a_n=3a_n-1，可以判定数列{a_n}是等比数列，求出a₁后，可求出通项公式；
（II）根据数列{na_n}的特点可知利用错位相消法进求和．

解答：解：（I）∵2S_n=3a_n-1①
∴2S_n-1=3a_n-1-1，（n≥2）②
①-②得2S_n-2S_n-1=3a_n-3a_n-1=2a_n，
即a_n=3a_n-1，
 又n=1时，2S₁=3a₁-1=2a₁∴a₁=1
∴{a_n}是以a₁=1为首项，以q=3为公比的等比数列．
∴a_n=a₁q^n-1=3^n-1
（II）T_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，
3T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
两式相减得
-2T_n=1+3¹+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ=

1-3n

1-3

-n•3ⁿ，
∴T_n=

(2n-1)3n

4

+

1

4

∴数列{na_n}的前n项和为

(2n-1)3n

4

+

1

4

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及利用错位相消法求和，同时考查了计算能力，属于中档题．