Question

已知数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证数列中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；

（3）若从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和满足，这样的等比数列有多少个？

Answer 1

解：（1）当时，，则.

        又，，两式相减得，

        是首项为1，公比为的等比数列，

        --------------------------------------------------------4分

      （2）反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为

          则，

          （*）    又   

          *式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立

          假设不成立       原命题得证. ------------------------------------------------8分

       （3）设抽取的等比数列首项为，公比为，项数为，

            且满足，

             则     又

                  整理得：  ①

                          

            

                        

            

                    将代入①式整理得  

             经验证得不满足题意，满足题意.

             综上可得满足题意的等比数列有两个. -------------------------------------16分