Question

双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．

Answer 1

解答见解析．

本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．
解法一：设双曲线的方程为=1．
依题意知，点P，Q的坐标满足方程组

① ②

 

将②式代入①式，整理得(5b²－3a²)x²+6a²cx－(3a²c²+5a²b²)=0．   ③    ——3分
设方程③的两个根为x₁，x₂，若5b²－3a²=0，则=，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b²－3a²≠0．
根据根与系数的关系，有
            ④
        ⑤                              ——6分
由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为P (x₁，(x₁－c))，Q (x₂，(x₂－c))．
由OP⊥OQ得·=－1，
整理得3c(x₁+x₂)－8x₁x₂－3c²=0．         ⑥
将④，⑤式及c²=a²+b²代入⑥式，并整理得3a⁴+8a²b²－3b⁴=0，即(a²+3b²)(3a²－b²)=0．
因为        a²+3b²≠0，解得b²=3a²，所以   c==2a．         ——8分
由|PQ|=4，得(x₂－x₁)²=[(x₂－c)－(x₁－c)]²=4²．
整理得(x₁+x₂)²－4x₁x₂－10=0．   ⑦
将④，⑤式及b²=3a²，c=2a代入⑦式，解得a²=1．                     ——10分
将a² =1代入b²=3a²得    b²=3．
故所求双曲线方程为x²－=1．                                   ——12分
解法二：④式以上同解法一．                                      ——4分
解方程③得x₁=，x₂=   ④        ——6分
由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为P (x₁，(x₁－c))，Q (x₂，(x₂－c))．
由OP⊥OQ，得x₁ x₂＋(x₁－c)·(x₂－c)=0．     ⑤
将④式及c²=a²b²代入⑤式并整理得     3a⁴+8a²b²－3b⁴=0，
即   (a²+3b²)(3a²－b²)=0．因a²+3b²≠0，解得b²=3a²．             ——8分
由|PQ|=4，得(x₂－x₁)²+[(x₂－c)－(x₁－c)]²=4²．
即     (x²－x¹)2=10．        ⑥
将④式代入⑥式并整理得(5b²－3a²)²－16a²b⁴=0．               ——10分
将b²=3a²代入上式，得a²=1，将a²=1代入b²=3a²得b²=3．
故所求双曲线方程为x²－=1．             ——12分