Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若.

（1）求证：平面；

（2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；

（3）求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）由侧面底面，PA⊥AD及面面垂直性质定理得，PA⊥面ABCD，由线面垂直定义可得PA⊥CD，通过计算可证CD⊥AC，根据线面垂直判定定理可得CD⊥面PAC；（2）若E是PA中点，F是CD中点，连结BE，EF，CF，由三角形中位线定理及平行公理可证四边形BEFC为平行四边形，则BE∥CF，根据线面平行的判定定理可得；（3）以A为原点，AB，AC，AP分别为轴建立空间直角坐标系，显然是平面PAD的法向量，求出PCD的法向量，求出这两个法向量的夹角的余弦值，即可求出二面角A-PD—C的余弦值.

试题解析：（1）因为 ，所以.

又因为侧面底面，且侧面底面，

所以底面.

而底面，

所以.

在底面中，因为，，

所以 ， 所以.

又因为， 所以平面. 4分

（2）在上存在中点，使得平面，

证明如下：设的中点是，

连结，，，

则，且.

由已知，

所以. 又，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以.

因为平面，平面，

所以平面. 8分

（3）由（1）知，PA⊥面ABCD，以A为原点，AB，AC，AP分别为轴建立空间直角坐标系，设AB=1，则P（0，0，1），B(1,0,0)，D(0,2,0),C(1,1,0)，则=(1,1,-1),=(-1,1,0)，

显然平面，所以为平面的一个法向量.

设面PCD的一个法向量=()，则==0且==0，取=1，则=1，=2，则.

设二面角的大小为，由图可知，为锐角，

所以

即二面角的余弦值为. 12分

考点:空间线面垂直、面面垂直判定与性质，空间线面平行的判定与性质，二面角计算