题目内容

若函数f（x）对于任意x∈[a，b]，恒有|f（x）-f（a）- $数学公式$ （x-a）|≤T（T为常数）成立，则称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”．下列函数中：
①f（x）=2x+1；
②f（x）=x²；
③f（x）= $数学公式$ ；
④f（x）=x³．
则在区间[1，2]上具有“ $数学公式$ 级线性逼近”的函数的个数为

A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

C
分析：根据称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”的定义，判断各个选项中的函数在区间[1，2]上是否满足“ $\text{[math]}$ 级线性逼近”的定义，从而得出结论．
解答：f（x）=2x+1在区间[1，2]上，由于|f（x）-f（1）- $\text{[math]}$ （x-1）|=|0|≤ $\text{[math]}$ ，故f（x）=2x+1在区间[1，2]上具有“ $\text{[math]}$ 级线性逼近”，故满足条件．
f（x）=x²在区间[1，2]上，由于|f（x）-f（1）- $\text{[math]}$ （x-1）|=|（x-1）（x-2）|=-（x-1）（x-2）≤ $\text{[math]}$ ，
故f（x）=x²在区间[1，2]上具有“ $\text{[math]}$ 级线性逼近”，故满足条件．
f（x）= $\text{[math]}$ 在区间[1，2]上，由于|f（x）-f（1）- $\text{[math]}$ （x-1）|=| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
故f（x）=2x+1在区间[1，2]上具有“ $\text{[math]}$ 级线性逼近”，故满足条件．
f（x）=x³在区间[1，2]上，由于|f（x）-f（1）- $\text{[math]}$ （x-1）|=|x³-7x+6|=|（x-1）（x-3）（x+2）|=-（x-1）（x-3）（x+2），
由于-（x³-7x+6）的导数为-3x²+7，令-3x²+7=0 可得 x= $\text{[math]}$ ，在[1， $\text{[math]}$ ]上，3x²-7＜0，-（x-1）（x-3）（x+2）为增函数，
同理可得在[ $\text{[math]}$ ，2]上，-（x-1）（x-3）（x+2）为减函数，故-（x-1）（x-3）（x+2）的最大值为（ $\text{[math]}$ -1）（3- $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ +2）＞ $\text{[math]}$ ，
故不满足“ $\text{[math]}$ 级线性逼近”，故不满足条件．
故选C．
点评：本题主要考查新定义：“T级线性逼近”的定义，不等式的性质应用，式子的变形是解题的难点，属于中档题．