题目内容
对于函数f（x），其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
）＞
[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．（1）设f（x）=ax2（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．
【答案】分析：（1）根据凸函数的定义，作差f（
）-
[f（x1）+f（x2）]判断即可；
（2）依题意，f（
）＞
[f（x1）+f（x2）]?
＞
，通过比较其真数的大小即可求得实数a的取值范围．
解答：解：（1）f（x）不是其定义域上的凸函数．
f（x）的定义域为R，设x1≠x2，则
f（
）-
[f（x1）+f（x2）]=a
-
（a
-a
）=-
＜0，…2分
∴f（
）＜
[f（x1）+f（x2）]，…4分
∴f（x）不是其定义域上的凸函数…6分
（2）∵f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）内是凸函数，
∴f（
）＞
[f（x1）+f（x2）]，…8分
即
＞
（logax1+logax2）=
①…10分
∵x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，
∴
-x1x2=
＞0，即
＞
…12分
故要①成立，则a＞1．
∴实数a的取值范围是（1，+∞）…14分
点评：本题考查对数函数的单调性，考查作差法，着重考查推理证明的逻辑思维能力，属于难题．
）-[f（x1）+f（x2）]判断即可；（2）依题意，f（
）＞[f（x1）+f（x2）]?＞，通过比较其真数的大小即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）f（x）不是其定义域上的凸函数．
f（x）的定义域为R，设x1≠x2，则
f（
）-[f（x1）+f（x2）]=a-（a-a）=-＜0，…2分∴f（
）＜[f（x1）+f（x2）]，…4分∴f（x）不是其定义域上的凸函数…6分
（2）∵f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）内是凸函数，
∴f（
）＞[f（x1）+f（x2）]，…8分即
＞（logax1+logax2）=①…10分∵x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，
∴
-x1x2=＞0，即＞…12分故要①成立，则a＞1．
∴实数a的取值范围是（1，+∞）…14分
点评：本题考查对数函数的单调性，考查作差法，着重考查推理证明的逻辑思维能力，属于难题．
练习册系列答案
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）＞
[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．