Question

已知△ABC的角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，周长为6，且sin²B=sinA•sinC，
（1）求角B的最大值；
（2）求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

（1）∵sin²B=sinA•sinC，∴b²=ac．
在△ABC中得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
又B∈（0．π）故有0＜B≤

π

3

．
∴当a=c=b时，角B取最大值且为

π

3

．
（2）由题a+b+c=6，得a+c=6-b，
又b=

ac

≤

a+c

2

=

6-b

2

，从而0＜b≤2，
由（1）知0＜B≤

π

3

且两等号同时成立S=

1

2

acsinB=

1

2

b2sinB≤

1

2

•22•sin

π

3

=

3

，
即Smax=

3

．