在公差不为0的等差数列{an}中.a2.a4.a8成公比为a2的等比数列．(I)求数列{an}的通项公式,(II)设数列{bn}满足bn=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{{a} {n}}.n=2k.k∈{N}^{+}}\\{2{a} {n}.n=2k-1.k∈{N}^{+}}\end{array}\right.$．①求数列{bn}的前n项和为Tn,②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．在公差不为0的等差数列{a_n}中，a₂，a₄，a₈成公比为a₂的等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{b_n}满足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{{a}_{n}}，n=2k，k∈{N}^{+}}\\{2{a}_{n}，n=2k-1，k∈{N}^{+}}\end{array}\right.$．
①求数列{b_n}的前n项和为T_n；
②令c_2n-1=$\frac{{b}_{2n}}{{b}_{2n-1}}$（n∈N⁺），求使得c_2n-1＞10成立的所有n的值．

分析（I）设等差数列{a_n}的公差为d，通过$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+7d）}\\{{a}_{1}+3d=（{a}_{1}+d）^{2}}\end{array}\right.$，计算即可；
（II）通过（I）知b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}，n=2k，k∈{N}^{*}}\\{2n，n=2k-1，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，①分n为偶数、n为奇数讨论即可；②c_2n-1=$\frac{{2}^{2n-1}}{2n-1}$，令t=2n-1，则c_2n-1＞10转化为${c}_{t}=\frac{{2}^{t}}{t}＞10$，讨论数列{c_t}的单调性即可．

解答解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题可知$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{4}}^{2}={a}_{2}•{a}_{8}}\\{{a}_{4}={a}_{2}•{a}_{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+7d）}\\{{a}_{1}+3d=（{a}_{1}+d）^{2}}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=1，
∴a_n=n （n∈N^*）；
（II）由（I）知b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}，n=2k，k∈{N}^{*}}\\{2n，n=2k-1，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，
①当n为偶数，即n=2k时，奇数项和偶数项各$\frac{n}{2}$项，
∴T_n=[2+6+…+2（n-1）]+（2²+2⁴+2⁶+…+2ⁿ）
=$\frac{\frac{n}{2}（2+2n-2）}{2}$+$\frac{{2}^{2}[1-（{2}^{2}）^{\frac{n}{2}}]}{1-{2}^{2}}$
=$\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+2}}{3}-\frac{4}{3}$；
当n为奇数，即n=2k-1时，n+1为偶数，
∴T_n=T_n+1-a_n+1
=$\frac{（n+1）^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+3}-4}{3}-{2}^{n+1}$
=$\frac{（n+1）^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+1}}{3}-\frac{4}{3}$，
综上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+2}}{3}-\frac{4}{3}，}&{n=2k，n∈{N}^{*}}\\{\frac{（n+1）^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+1}}{3}-\frac{4}{3}，}&{n=2k-1，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$；
②c_2n-1=$\frac{{b}_{2n}}{{b}_{2n-1}}$=$\frac{{2}^{2n}}{2（2n-1）}$=$\frac{{2}^{2n-1}}{2n-1}$，
令t=2n-1，则c_2n-1＞10转化为${c}_{t}=\frac{{2}^{t}}{t}＞10$，
∵$\frac{{c}_{t+1}}{{c}_{t}}$=$\frac{{2}^{t+1}}{t+1}•\frac{t}{{2}^{t}}$=$\frac{2t}{t+1}$≥1，
当且仅当t=1时取等号，
∴c_t+1＞c_t＞c_t-1＞…＞c₂=c₁，
∵c₅=$\frac{{2}^{5}}{5}＜10$，${c}_{6}=\frac{{2}^{6}}{6}＞10$，
∴2n-1≥6，解得n$≥\frac{7}{2}$，
∴当n≥4，n∈N^*时，c_2n-1＞10．