Question

（本小题满分12分）如图, 四棱柱的底面ABCD是正方形,为底面中心,平面,．

（1）证明：；

（2）证明: 平面平面

（3）求三棱柱的体积．

 

Answer 1

（1）详见解析;（2）详见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由题意BD⊥AC ，因为A1O⊥平面ABCD可知A1O⊥BD ，可证BD⊥面A1AC即可证明结论；（2）由于A1B1∥AB ，AB∥CD，可得A1B1∥CD，又A1B1=CD，可得四边形A1B1CD是平行四边形

所以A1D∥B1C， 同理可证A1B∥CD1，利用面面平行判定定理即可证明结结论； （3） 由于A1O⊥面ABCD 故A1O是三棱柱A1B1D1-ABD的高．又在RT△A1OA中，AA1=2，AO = 1 ，可得A1O=,

根据柱体体积公式即可求出三棱柱ABD-A1B1D1的体积．

试题解析：（1）证明：∵底面ABCD是正方形 ∴BD⊥AC

又∵A1O⊥平面ABCD BD?面ABCD ∴A1O⊥BD

又∵A1O∩AC=O A1O?面A1AC，AC?面A1AC

∴BD⊥面A1AC AA1?面A1AC

∴AA1⊥BD 4分

（2）∵A1B1∥AB AB∥CD ∴A1B1∥CD 又A1B1=CD ∴四边形A1B1CD是平行四边形

∴A1D∥B1C 同理A1B∥CD1

∵A1B?平面A1BD, A1D ?平面A1BD, CD1?平面CD1B1, B1C?平面CD1B

且A1B∩ A1D=A1 CD1∩B1C=C

∴平面A1BD // 平面CD1B1 8分

（3） ∵A1O⊥面ABCD ∴A1O是三棱柱A1B1D1-ABD的高．

在正方形AB CD中,AO = 1 ．在RT△A1OA中，AA1=2，AO = 1 ∴A1O=

∴

所以, 三棱柱ABD-A1B1D1的体积为． 12分．

考点：1．线面垂直的判定；2．面面平行的判定；3．柱体的体积公式．