Question

设数列｛a_n｝的前n项和为S_n且a_n≠0（n∈N^*），S₁，S₂，…，S_n，…成等比数列，试问数列a₂，a₃，a₄，…，a_n，…成等比数列吗?证明你的结论.

   

Answer 1

思路分析：判断a₂，a₃，…a_n，…是否成等比数列，即是判断(n≥2)是否是常数.由题设条件可得到S_n的表达式.问题转化为已知S_n求a_n的问题.

    解：设a₁=a，则S₁=a₁=a.因为｛S_n｝成等比数列，设公比为q，则S_n=S₁q^n-1=aq^n-1.当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1-aq^n-2=aq^n-2(q-1)， a_n+1=S_n+1-S_n=aqⁿ-aq^n-1=aq^n-1(q-1).

    当q=1时，｛S_n｝为常数列，此时a_n=0与题设条件a_n≠0矛盾.所以q≠1.

    所以==q(n≥2，n∈N^*).

    故数列a₂，a₃，…a_n，…成等比数列.