Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{{

1

an•an+1

}}的前n项和为T_n，试求T_n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1=S_n+1-S_n=，把S_n=na_n-2n（n-1）代入得a_n+1-a_n=4．判断出数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列，进而求得数列的通项公式．
（2）把（1）中求得a_n代入Tn，用裂项法求和，判断出T_n＜

1

4

，根据T_n-T_n-1＞0判断T_n单调递增，进而判断出T_n≥T₁，进而求得T_n得取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=na_n-2n（n-1）
得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n
∴a_n+1-a_n=4．
所以，数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列．
∴a_n=4n-3a₂=5，a₃=9，a₄=13
（Ⅱ）∵Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

++

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

+…+

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

[1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

+…+

1

4n+3

-

1

4n+1

]=

1

4

(1-

1

4n+1

)＜

1

4

又，易知T_n单调递增，故Tn≥T1=

1

5

∴

1

5

≤Tn＜

1

4

，即T_n得取值范围是[

1

5

，

1

4

).

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．考查了学生对等差数列基础知识的理解和运用．