Question

已知椭圆的一个顶点为B（0，4），离心率，直线交椭圆于M，N两点。

（1）若直线的方程为，求弦MN的长；

（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线方程的一般式。

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由离心率可求出椭圆的方程，然后联立方程求出直线l与椭圆交点坐标，利用弦长公式即可；（2）先利用重心定理求出Q的坐标（3，-2），因为Q为MN的中点，可由点差法来求直线的斜率.

试题解析：(1)由已知，且，即 2分

∴椭圆方程为 3分

由与联立，消去得

∴ 5分

∴所求弦长 6分

（2）椭圆右焦点F的坐标为（2，0），设线段MN的中点为Q（）

由三角形重心的性质知，又B（0，4）

∴，故得，

所以得Q的坐标为（3，-2） 8分

设，则且， 两式相减得

∴ 10分

故直线MN的方程为，即 12分

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）向量在解析几何在的应用；（3）直线与圆锥曲线的问题.