Question

11．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[$\sqrt{2}$，2]，则其渐近线的倾斜角的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]
• B． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]
• C． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{4π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]
• D． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{5}$]

Answer 1

分析 利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[$\sqrt{2}$，2]，求得1≤$\frac{b}{a}$≤$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$≤-$\frac{b}{a}$≤-1，即可得到所求范围．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[$\sqrt{2}$，2]，
∴$\sqrt{2}$≤$\frac{c}{a}$≤2，
∴2≤1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$≤4，
∴1≤$\frac{b}{a}$≤$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$≤-$\frac{b}{a}$≤-1，
∴渐近线的倾斜角的取值范围是[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．