Question

如图，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，点E、M分别为A₁B、C₁C的中点，过点A₁，B，M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N．

(1)求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；

(2)求二面角B—A₁N—B₁的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

法一(1)证明：取A1B1的中点F，连EF，C1F ∵E为A1B中点 ∴EF∥BB1 又∵M为CC1中点　∴EF∥C1M ∴四边形EFC1M为平行四边形　∴EM∥FC1 而EM平面A1B1C1D1．FC1平面A1B1C1D1． ∴EM∥平面A1B1C1D1 (2)由(1)EM∥平面A1B1C1D1　EM平面A1BMN 平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N　∴A1N//EM//FC1 ∴N为C1D1中点 过B1作B1H⊥A1N于H，连BH，根据三垂线定理　BH⊥A1N ∠BHB1即为二面角B—A1N—B1的平面角 设AA1=a，则AB=2a， ∵A1B1C1D1为正方形 ∴A1H=　　又∵△A1B1H∽△NA1D1 ∴B1H= 在Rt△BB1H中，tan∠BHB1= 即二面角B—A1N—B1的正切值为 法二(1)建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a，AA1=a(a＞0)，则 A1(2a，0，a)，B(2a， 2a ， 0)， C(0，2a，0)，C1(0，2a，a) ∵E为A1B的中点，M为CC1的中点 ∴E(2a，a，)，M(0，2a，) ∴EM// A1B1C1D1 (2)设平面A1BM的法向量为=(x，y，z) 又=(0，2a，－a)　由，得 而平面A1B1C1D1的法向量为.设二面角为，则 又：二面角为锐二面角　， 从而