Question

设P是抛物线y²=4x上的一个动点．
（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值；
（2）若B（3，2），求|PB|+|PF|的最小值．

Answer 1

分析：（1）所求距离等于P到点A（-1，1）的距离与点P到焦点F的距离之和，当P、A、F三点共线时，距离之和最小，由两点间的距离公式可得；
（2）所求距离等于|PB|+P到准线x=-1的距离，当P、B、F三点共线时，距离之和最小，由点到直线的距离公式可得．

解答：解：（1）可得抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，
∴点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线x=-1的距离之和
等于P到点A（-1，1）的距离与点P到焦点F的距离之和，
当P、A、F三点共线时，距离之和最小，且为|AF|，
由两点间的距离公式可得|AF|=

(-1-1)2+(1-0)2

=

5

；
（2）由抛物线的定义可知|PF|等于P到准线x=-1的距离，
故|PB|+|PF|等于|PB|+P到准线x=-1的距离，
可知当P、B、F三点共线时，距离之和最小，
最小距离为3-（-1）=4

点评：本题考查抛物线的定义，涉及点到点、点到线的距离，利用好抛物线的定义是解决问题的关键，属中档题．