Question

已知A、B是抛物线y²=4x上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．
（I）求证：直线AB过定点M（4，0）；
（II）设弦AB的中点为P，求点P到直线x-y=0的距离的最小值．

Answer 1

分析：（I）设直线AB方程为x=my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y²=4x，得y²-4my-4b=0，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，能够证明直线AB过定点M（4，0）．
（II）P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）到直线x-y=0的距离d=

| x1+x2 2 - y1+y2 2 |

2

，由此能求出点P到直线x-y=0的距离的最小值．

解答：解：（I）设直线AB方程为x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线AB方程代入抛物线方程y²=4x，
得y²-4my-4b=0，
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，
∵OA⊥OB，x1=

y12

4

，x2=

y22

4

，
∴k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=

16

y1y2

=-

4

b

=-1，b=4．
于是直线AB方程为x=my+4，该直线过定点（4，0）．
（II）P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）到直线x-y=0的距离
d=

| x1+x2 2 - y1+y2 2 |

2

=

|y12+y22-4(y1+y2)|

8 2

=

|16m2+32-16m|

8 2

=

2

(m2-m+2)
=

2

(m-

1

2

)2+

7 2

4

，
当m=

1

2

时，d取最小值

7 2

4

．

点评：本题考查直线过定点的证明，考查点到直线的距离的最小值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理、点到直线的距离公式的合理运用．