题目内容

已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点，设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，
MF
=λ
FB
（λ＞0）
（1）若λ=1，求直线l斜率
（2）若点A、B在x轴上的射影分别为A1，B1且|
B1F
|，|
OF
|，2|
A1F
|成等差数列求λ的值
（3）设已知抛物线为C1：y2=x，将其绕顶点按逆时针方向旋转90°变成C1′．圆C2：x2+（y-4）2=1的圆心为点N．已知点P是抛物线C1′上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C′1于T，S，两点，若过N，P两点的直线l垂直于TS，求直线l的方程．
分析：（1）先确定p=λ（x2-
p
2
），进而求出B的坐标，即可求直线l的斜率；
（2）直线方程代入抛物线方程，求得A1、B1的横坐标，根据|
B1F
|，|
OF
|，2|
A1F
|成等差数列，可得2|
OF
|=|
B1F
|+2|
A1F
|，从而可得x2-2x1=
p
2
，由此可求λ的值；
（3）设过点P的圆C2的切线方程，可得PS，PT的斜率是方程的两根，利用韦达定理及向量的数量积，即可得到结论．
解答：解：依题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为k，k＞0，M的纵坐标为y0，
则F（
p
2
，0）准线方程为x=-
p
2

直线l的方程为y=k（x-
p
2
），M（-
p
2
，y0），y2＞0
∵
MF
=λ
FB
，∴（p，-y0）=λ（x2-
p
2
，y0），故p=λ（x2-
p
2
）
（1）若λ=1，由p=λ（x2-
p
2
），y22=2px2，y2＞0，得x2=
3p
2
，y2=
3
p，
∴B（
3p
2
，
3
p）
∴直线l的斜率k=
3
p
3p
2
-
p
2
=
3
；
（2）直线l的方程代入y2=2px，消去y，可得k2x2-（k2p+2p）x+
k2p2
4
=0，则x1x2=
p2
4

∵x2=
p
λ
+
p
2
，∴x1=
p2
4x2
=
λp
2λ+4

∵|
B1F
|，|
OF
|，2|
A1F
|成等差数列
∴2|
OF
|=|
B1F
|+2|
A1F
|，
∴(x2-
p
2
)+2(
p
2
-x1)=p
∴x2-2x1=
p
2

将x2=
p
λ
+
p
2
和x1=
λp
2λ+4
代入上式得
1
λ
=
λ
λ+2
，∴λ=2；
（3）设P（x0，x02），S（x1，x12），T（x2，x22），由题意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2．
设过点P的圆C2的切线方程为y-x02=k（x-x0），即y=kx-kx0+x02．①
则
|kx0+4-x02|
1+k2
=1，
即（x02-1）k2+2x0（4-x02）k+（x02-4）2-1=0．
设PS，PT的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，所以
k1+k2=
2x0(x02-4)
x02-1
，k1k2=
(x02-4)2-1
x02-1
．
将①代入y=x2，得x2-kx+kx0-x02=0，
由于x0是此方程的根，故x1=k1-x0，x2=k2-x0，
所以kST=
x12-x22
x1-x2
=x1+x2=k1+k2-2x0=
2x0(x02-4)
x02-1
-2x0，kNP=
x02-4
x0
．
由MP⊥AB，得kNP•kST=[
2x0(x02-4)
x02-1
-2x0]•
x02-4
x0
=-1，解得x02=
23
5
，
即点P的坐标为（±
23
5
，
23
5
），所以直线l的方程为y=±
3
115
115
x+4．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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