题目内容

已知向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ，x $数学公式$ ．
（1）求 $数学公式$ 及| $数学公式$ |；
（2）求函数f（x）= $数学公式$ 值域．

解：（1） $\text{[math]}$ =cos $\text{[math]}$ x•cos $\text{[math]}$ x-sin $\text{[math]}$ x•sin $\text{[math]}$ x=cos（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ x）=cos2x．
∵（ $\text{[math]}$ ）²=（cos $\text{[math]}$ x+cos $\text{[math]}$ x）²+（sin $\text{[math]}$ x-sin $\text{[math]}$ x）²=2+2（cos $\text{[math]}$ x•cos $\text{[math]}$ x-sin $\text{[math]}$ x•sin $\text{[math]}$ x）
=2+2cos2x=2+2（2cos²x-1）=4cos²x
且x∈[0， $\text{[math]}$ ]
∴| $\text{[math]}$ |=2cosx．
（2）由（1）知f（x）= $\text{[math]}$ =cos2x-4cosx
=2cos²x-4cosx-1=2（cosx-1）²-3
∵x∈[0， $\text{[math]}$ ]∴cosx∈[0，1]
∴函数f（x）= $\text{[math]}$ 值域是[-3，-1]．
分析：（1）由向量数量积的坐标公式，及余弦的差角公式可求出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ；因为| $\text{[math]}$ |²=（ $\text{[math]}$ ）²，所以先求（ $\text{[math]}$ ）²，然后求| $\text{[math]}$ |．
（2）由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 与| $\text{[math]}$ |求出f（x），然后把它整理为二次函数形式，进而结合余弦的值域解决问题．
点评：有的三角函数问题，不能转化为正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+B（或余弦型函数y=Acos（ωx+φ）+B）的形式来解决，可考虑利用二次函数来处理．

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+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x₁，x₂且m∈(1，

)，求x₁+x₂的值．

=（x-z，1），

=（2，y+z），且

，若变量x，y满足约束条件

，则z的最大值为

=(2，2)且f(x)=

+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
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④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-

)的值域
解：（1）列表

(本小题共12分）

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