Question

已知函数f（x）=m•2^x+2•3^x，m∈R．
（1）当m=-9时，求满足f（x+1）＞f（x）的实数x的范围；
（2）若f(x)≤(

9

2

)x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围；
（3）若存在m使f（x）≤a^x对任意的x∈R恒成立，其中a为大于1的正整数，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）将m=-9代入解析式，然后化简不等式f（x+1）＞f（x），最后利用指数函数的单调性即可求出所求；
（2）将m参变量分离，然后利用换元法转化成求二次函数的最值，从而可求出m的取值范围；
（3）由（2）知，存在m∈（-∞，-1]使f（x）≤（

9

2

）^x对任意的x∈R恒成立，取x=1时也应该成立，从而可求出a的最小值整数解．

解答：解：（1）当m=-9时，f（x）=-9•2^x+2•3^x，
∵f（x+1）＞f（x）
∴-9•2^x+1+2•3^x+1＞-9•2^x+2•3^x，
即4•3^x＞9•2^x，即(

3

2

)x＞(

3

2

)2
∴x＞2；
（2）∵f(x)≤(

9

2

)x对任意的x∈R恒成立，
∴m•2^x+2•3^x≤(

9

2

)x对任意的x∈R恒成立，
不等式两边同时除以2^x得(

9

4

)x≥2×(

3

2

)x+m
令t=(

3

2

)x＞0，则t²-2t-m≥0即m≤t²-2t=（t-1）²-1对于任意正实数t恒成立
∴m≤-1；     
（3）由（2）知，存在m∈（-∞，-1]使f（x）≤（

9

2

）^x对任意的x∈R恒成立，
取x=1代入f（x）得m×2¹+2×3¹≤a¹，化简：a≥6+2m≥4
所以a的最小整数值为4．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及指数函数的综合应用，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．