Question

已知函数f（x）=

m

•

n

，其中

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于

π

2

．
（Ⅰ）求ω的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=

3

，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积的坐标表示及二倍角公式对函数整理可得，f(x)=2sin(2ωx+

π

6

)，根据周期公式可得T=

2π

2ω

=

π

ω

，根据正弦函数的性质相邻两对称轴间的距离即为

1

2

T，从而有

T

2

≥

π

2

代入可求ω的取值范围．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，f(x)=2sin(2x+

π

6

)由f（A）=1可得，sin(2A+

π

6

)=

1

2

结合已知可得2A+

π

6

=

5

6

π，A=

π

3

由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

可得b²+c²-bc=3，又b+c=3联立方程可求b，c，代入面积公式可求
也可用配方法

(b+c)2-3bc=3 b+c=3

求得bc=2，直接代入面积公式可求

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

m

•

n

=cos2ωx-sin2ωx+2

3

cosωx•sinωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)
∵ω＞0
∴函数f（x）的周期T=

2π

2ω

=

π

ω

，由题意可知

T

2

≥

π

2

，即

π

2ω

≥

π

2

，
解得0＜ω≤1，即ω的取值范围是{ω|0＜ω≤1}
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)
∵f（A）=1
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

而

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

π
∴2A+

π

6

=

5

6

π
∴A=

π

3

由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

∴b²+c²-bc=3，又b+c=3
联立解得

b=2 c=1

或

b=1 c=2

∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

（或用配方法∵

(b+c)2-3bc=3 b+c=3

∴bc=2
∴

S

△ABC

=

1

2

bcsinA=

3

2

．

点评：本题综合考查了向量的数量积的坐标表示，由函数的部分图象的性质求解函数的解析式，正弦函数的周期公式，由三角函数值求解角，余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合，综合的知识比较多，解法灵活，要求考生熟练掌握基础知识并能灵活运用知识进行解题．