题目内容

有一种变压器铁芯的截面呈如图所示的正十字形，为保证所需的磁通量，要求正十字形的面积为4 $数学公式$ cm²，为了使用来绕铁芯的铜线最省，即正十字形外接圆周长最短，应如何设计正十字形的长（如DG），和宽（如AB）？

解：设外接圆半径为R，AB=x（0＜x＜R），DG=y，
则4R²=x²+y²，①
由已知条件有2xy-x²=4 $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ ②．
②代入①得4R²=x²+ $\text{[math]}$ ．
∴4R²= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =10+ $\text{[math]}$ ．
当且仅当 $\text{[math]}$ ，
即x=2时，等号成立．
把代x=2入②得y=1+ $\text{[math]}$ ，
∴当 x=2 且y=1+ $\text{[math]}$ 时，
4R²有最小值，
此时正十字形外接圆周长最短．
答：正十字形的长和宽分别为（1+ $\text{[math]}$ ）cm和2cm时，用来绕铁芯的铜线最省．
分析：设外接圆半径为R，AB=x（0＜x＜R），DG=y，则4R²=x²+y²，由已知条件有2xy-x²=4 $\text{[math]}$ ，所以y= $\text{[math]}$ ．从而得到4R²=x²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =10+ $\text{[math]}$ ．由此能够求出正十字形外接圆周长最短，应如何设计正十字形的长和宽．
点评：本题考查函数问题在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易出错点．解题时要认真审题，注意均值定理的灵活运用．