题目内容
有一种变压器铁芯的截面呈如图所示的正十字形，为保证所需的磁通量，要求正十字形的面积为4
cm2，为了使用来绕铁芯的铜线最省，即正十字形外接圆周长最短，应如何设计 正十字形的长（如DG），和宽（如AB）？
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分析：设外接圆半径为R，AB=x（0＜x＜R），DG=y，则4R2=x2+y2，由已知条件有2xy-x2=4
，所以y=
．从而得到4R2=x2+
=
x2+
+2
≥2
+2
=10+2
．由此能够求出正十字形外接圆周长最短，应如何设计正十字形的长和宽．
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x2+4
| ||
| 2x |
x4+8
| ||
| 4x2 |
| 5 |
| 4 |
| 20 |
| x2 |
| 5 |
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| 5 |
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解答：
解：设外接圆半径为R，AB=x（0＜x＜R），DG=y，
则4R2=x2+y2，①
由已知条件有2xy-x2=4
，
∴y=
②．
②代入①得4R2=x2+
．
∴4R2=
x2+
+2
≥2
+2
=10+2
．
当且仅当
x2=
，
即x=2时，等号成立．
把代x=2入②得y=1+
，
∴当 x=2 且y=1+
时，
4R2有最小值，
此时正十字形外接圆周长最短．
答：正十字形的长和宽分别为（1+
）cm和2cm时，用来绕铁芯的铜线最省．
解：设外接圆半径为R，AB=x（0＜x＜R），DG=y，则4R2=x2+y2，①
由已知条件有2xy-x2=4
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∴y=
x2+4
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| 2x |
②代入①得4R2=x2+
x4+8
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| 4x2 |
∴4R2=
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| x2 |
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当且仅当
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| x2 |
即x=2时，等号成立．
把代x=2入②得y=1+
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∴当 x=2 且y=1+
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4R2有最小值，
此时正十字形外接圆周长最短．
答：正十字形的长和宽分别为（1+
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点评：本题考查函数问题在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易出错点．解题时要认真审题，注意均值定理的灵活运用．
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