Question

圆C：（x-1）²+（y-2）²=25内有一点P（3，1），l为过点P且倾斜角为α的直线．
（1）若，求直线l与圆C相交弦的弦长；
（2）求直线l被圆C截得的弦长度最短时，直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直线的倾斜角的度数，根据直线倾斜角与斜率的关系：倾斜角的正切值等于直线的斜率，得到直线l的斜率，再由直线过P，由P的坐标和求出的斜率写出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离即为弦心距，由弦心距及圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，乘以2即可得到弦的长；
（2）根据直线l与直线PC垂直时，直线l被圆C截得的弦最短，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由直线CP的斜率求出直线l的斜率，再根据直线l过P点，由P的坐标和求出的斜率写出直线l的方程即可．
解答：解：（1），
直线l的方程：y-1=-（x-3）即x+y-4=0
点C（1，2）到直线l的距离，又圆C的半径为5，
则直线l与圆C相交弦的弦长为：；
（2）当直线l与直线CP垂直时，直线l被圆C截得的弦长度最短.
∴直线l的方程：2x-y-5=0．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线倾斜角与斜率的关系，两直线垂直时斜率满足的关系，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，垂径定理以及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦心距，弦长的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．