Question

已知圆C：（x+1）²+（y-2）²=2
（1）若圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，求此切线的方程
（2）从圆外一点P（x₀，y₀）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）当截距不为零时：设切线方程为

x

a

+

y

a

=1，根据圆心到切线的距离等于半径求出a的值，即得切线方程，
当截距等于零时：设切线方程为y=kx（k≠0），同理可得k=2±

6

，从而得到圆的所有的切线方程．
（2）有切线的性质可得|PM|²=|PC|²-|CM|²，又|PM|=|PO|，可得2x₀-4y₀+3=0．动点P在直线2x-4y+3=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，过点O作直线2x-4y+3=0的垂线，垂足为P，垂足坐标即为所求．

解答：解：（1）当截距不为零时：设切线方程为

x

a

+

y

a

=1，即：x+y=a（a≠0），
圆C为：（x+1）²+（y-2）²=2，圆心为C（-1，2），到切线距离等于圆的半径

2

所以

|-1+2-a|

2

=

2

，a=-1，3．
当截距等于零时：设切线方程为y=kx（k≠0），同理可得k=2±

6

．
所以所求切线方程为：x+y+1=0，或x+y-3=0，或y=(2+

6

)x或y=(2-

6

)x．
（2）∵PM⊥CM，∴|PM|²=|PC|²-|CM|²，又|PM|=|PO|，
∴（x₀+1）²+（y₀-2）²-2=x₀²+y₀²，整理得：2x₀-4y₀+3=0．
即动点P在直线2x-4y+3=0上，所以，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，
过点O作直线2x-4y+3=0的垂线，垂足为P，k_OP=-2
解方程组

y=-2x 2x-4y+3=0

，得 

x0=- 3 10 y0= 3 5

，所以点P坐标为(-

3

10

，

3

5

)．

点评：本题考查用点斜式、斜截式求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想，点到直线的距离公式，判断
P在直线2x-4y+3=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，是解题的关键，属于中档题．