Question

已知F₁、F₂是椭圆

x2

2

+y2=1的左、右焦点，点A是上顶点．
（1）求圆C：（x+1）²+（y+2）²=1关于直线AF₂对称的圆C'的方程；
（2）椭圆上有两点M、N，若M、N满足

OM

+

ON

=

0

，

MF1

•

F1F2

=0（点M在x轴上方），问：圆C'上是否存在一点Q，使MQ⊥NQ？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求直线AF₂的方程，再求圆C：（x+1）²+（y+2）²=1的圆心坐标关于直线AF₂对称的点的坐标，即可得到圆C：（x+1）²+（y+2）²=1关于直线AF₂对称的圆C'的方程；
（2）先求M，N的坐标，再假设假设圆C'上存在一点Q，使MQ⊥NQ，通过计算，引出矛盾，从而问题得解．

解答：解：（1）∵F₁、F₂是椭圆

x2

2

+y2=1的左、右焦点，点A是上顶点
∴F₂（1，0），A（0，1）
∴直线AF₂的方程为x+y-1=0
圆C：（x+1）²+（y+2）²=1的圆心坐标为C（-1，-2）
设C（-1，-2）关于直线AF₂对称的点的坐标为（x，y）
∴

y+2 x+1 ×(-1)=-1 x-1 2 + y-2 2 -1=0

∴

x=3 y=2

即C（-1，-2）关于直线AF₂对称的点的坐标为（3，2）
∴圆C：（x+1）²+（y+2）²=1关于直线AF₂对称的圆C'的方程为（x-3）²+（y-2）²=1；
（2）圆C'上不存在点Q，使MQ⊥NQ．
∵F₁是椭圆

x2

2

+y2=1的左焦点，
∴F₁（-1，0）
∵椭圆上点M满足

MF1

•

F1F2

=0（点M在x轴上方），
∴M（-1，

2

2

）
∵椭圆上有两点M、N，若M、N满足

OM

+

ON

=

0

∴N（-1，-

2

2

）
假设圆C'上存在一点Q，使MQ⊥NQ，
∵圆C'的方程为（x-3）²+（y-2）²=1
∴设Q（3+cosθ，2+sinθ）
∴

MQ

=(4+cosθ，2+sinθ-

2

2

)，

NQ

=(4+cosθ，2+sinθ+

2

2

)
∴

MQ

•

NQ

=(4+cosθ，2+sinθ-

2

2

)• (4+cosθ，2+sinθ+

2

2

)=0
∴(4+cosθ)2+(2+sinθ)2-

1

2

=0
∴2cosθ+sinθ=-

41

8

∴

5

sin(θ+α)=-

41

8

(tanα=2)①
∵

5

sin(θ+α)≥ -

5

，-

41

8

＜-

5

∴①式不成立，即假设不成立
∴圆C'上不存在点Q，使MQ⊥NQ．

点评：本题以椭圆为载体，考查对称性，考查圆的方程，考查是否存在问题，解题的关键是利用已知条件，引出矛盾，属于中档题．