Question

6．已知向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为30°，且$|{\overrightarrow a}|$=$\sqrt{3}$，$|{\overrightarrow b}|$=1．
（1）求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$；
（2）求$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$的值；
（3）如图，设向量$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow p，\overrightarrow{DB}=\overrightarrow q$，求向量$\overrightarrow p$在$\overrightarrow{q}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）直接由已知结合数量积公式求解；
（2）利用$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}$，等式右边展开后代入数量积得答案；
（3）由$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}，\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，代入投影公式化简即可．

解答 解：向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为30°，且$|{\overrightarrow a}|$=$\sqrt{3}$，$|{\overrightarrow b}|$=1．
（1）$\overrightarrow a•\vec b=|{\overrightarrow a}|•|{\vec b}|cos{30°}=\sqrt{3}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{3}{2}$；
（2）$|{\overrightarrow a-\vec b}|=\sqrt{{{（{\overrightarrow a-\vec b}）}^2}}=\sqrt{{{\overrightarrow a}^2}-2\overrightarrow a•\vec b+{{\vec b}^2}}=\sqrt{3-3+1}=1$；
（3）∵$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}，\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，
∴$\frac{\vec p•\vec q}{{|{\vec q}|}}=\frac{{{{\overrightarrow a}^2}-{{\vec b}^2}}}{{\sqrt{（\overrightarrow a-\vec b{）^2}}}}=\frac{3-1}{{\sqrt{{{\overrightarrow a}^2}-2\overrightarrow a•\vec b+{{\vec b}^2}}}}=\frac{2}{{\sqrt{3-3+1}}}=2$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，对于（3）的求解，需要掌握向量在向量方向上的投影的概念，是中档题．