Question

已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为

2

2

，它的一个顶点为抛物线x²=4y的焦点．
（I）求椭圆方程；
（II）若直线y=x-1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程；
（III）若斜率为1的直线交椭圆于M、N两点，求△OMN面积的最大值（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（I）设出椭圆的标准方程，利用抛物线的焦点坐标可得b的值，利用椭圆的离心率，即可求得椭圆的几何量，从而可得椭圆的方程；
（II）将直线y=x-1代入x²=4y得x²-4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x²=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，由此能求出圆A的方程；
（III）设斜率为1的直线方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y可得3x²+4mx+2m²-2=0，利用韦达定理计算|MN|，求得原点O到直线MN的距离，从而可表示三角形的面积，利用基本不等式，可求OMN面积的最大值．

解答：解：（I）设椭圆的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵椭圆的一个顶点为抛物线x²=4y的焦点，∴b=1
∵椭圆的离心率为

2

2

，∴e=

c

a

=

2

2

，∴

a2-1

a2

=

1

2

，∴a²=2
∴椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1
（II）得：x²-4x+4=0，解得x=2，
代入抛物线方程x²=4y，得y=1，故点A的坐标为（2，1），
因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，
即r=|1-（-1）|=2，
所以圆A的方程为：（x-2）²+（y-1）²=4．
（III）设斜率为1的直线方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y可得3x²+4mx+2m²-2=0
∵直线交椭圆于M、N两点，∴△=16m²-12（2m²-2）＞0，∴-

3

＜m＜

3

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

∴|MN|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

4

3

3-m2

∵原点O到直线MN的距离d=

|m|

2

∴S=

1

2

|MN|d=

1

2

×

4

3

3-m2

×

|m|

2

=

2

3

m2(3-m2)

≤

2

3

×

( m2+3-m2 2 )2

=

2

2

（当且仅当m=±

6

2

时，取等号）
∴△OMN面积的最大值为

2

2

．

点评：本题考查椭圆、圆的标准方程，考查抛物线的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查利用基本不等式求最值，正确运用韦达定理是关键．