Question

已知椭圆中心在坐标原点，短轴长为2，一条准线l的方程为x=2．
（1）求椭圆方程；
（2）设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值．

Answer 1

分析：（1）由短轴和准线方程求出b和a的值，据焦点在x轴上写出椭圆的方程．
（2）用点斜式写出FN的方程，再由ON⊥NM，斜率之积等于-1得到一个等式，把FN的方程代入等式化简，
可得x²+y²=2，所以线段ON的长为定值

2

．

解答：解：（1）由题意知，b=1，

a2

c

=2，∴a=

2

，c=1，焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y²=1．
（2）证明：∵F（1，0），点M（2，m），FN的方程为：y-0=

-2

m

（x-1）①，
∵过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，
∴ON⊥NM，∴K_ON•K_NM=-1，
即

y

x

•

y-m

x-2

=-1，∴x²+y²=2x+my  ②，
把①代入②得：x²+y²=2x+my=2x+m•

-2

m

（x-1）=2，
∴|ON|=

x2+y2

=

2

，∴线段ON的长为定值．

点评：本题考查椭圆的方程、直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．