Question

已知a≥0，b≥0，且a+b=1，则

1

3a+b

+

2

b+3

的最小值为

1

．

Answer 1

分析：由于a+b=1，可得a=1-b，

1

3a+b

+

2

b+3

=

1

3-2b

+

2

b+3

，令f（b）=

1

3-2b

+

2

b+3

（1≥b≥0），利用导数研究其单调性即可得出．

解答：解：∵a+b=1，∴a=1-b，∴

1

3a+b

+

2

b+3

=

1

3-2b

+

2

b+3

，
令f（b）=

1

3-2b

+

2

b+3

（1≥b≥0），
∴f′（b）=

2

(3-2b)2

-

2

(b+3)2

=

6b(6-b)

(3-2b)2(b+3)2

≥0，（0≤b≤1）
∴函数f（b）在[0，1]上单调递增，因此b=0时f（b）取得最小值，f（0）=

1

3

+

2

3

=1
故答案为1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于基础题．