题目内容

已知a≥0，b≥0，a+b=1，则
a+
1
2
+
b+
1
2
取值范围是
[
2
+
6
2
，2]
[
2
+
6
2
，2]
．
分析：根据a和b的等量关系消去b，然后令
a+
1
2
+
b+
1
2
=
a+
1
2
+
3
2
-a
=y，利用导数研究该函数在[0，1]上的最值，从而求出所求的值域．
解答：解：a≥0，b≥0，a+b=1，0≤a≤1，0≤b≤1，b=1-a
a+
1
2
+
b+
1
2
=
a+
1
2
+
3
2
-a
=y
对y求导，y'=
1
2
a+
1
2
-
1
2
3
2
-a

当y'=0时取得极值，即
1
2
a+
1
2
=
1
2
3
2
-a
，解得a=
1
2
∈[0，1]，此时b=1-a=
1
2
，此时y=2
而端点值当x=0时y=
2
+
6
2
，当x=1时 y=
2
+
6
2

∴
a+
1
2
+
b+
1
2
的取值范围为：[
2
+
6
2
，2]
故答案为：[
2
+
6
2
，2]
点评：本题主要考查了函数的值域，同时考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知a≥0，b≥0，且a+b=1，则
1
3a+b
+
2
b+3
的最小值为
1
1
．
（2009•河西区二模）已知a≥0，b≥0，且a+b=4，则（　　）
已知a≥0，b≥0，且有{(x，y)
x≥0
y≥0
x+2y≤2
}⊆{(x，y)|ax+by≤4}，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于（　　）
已知a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=
a
1+a2
+
b
1+b2
+
c
1+c2
．求ymax=？

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