Question

已知椭圆C：的离心率为，其左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是椭圆上一点，且，|OP|＝1(O为坐标原点)．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过点S(0，－)且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因为，所以．　2分 　　∵，∴⊥，∴； 　　又∵，∴， 　　∴．b＝1．因此所求椭圆的方程为：　4分 　　(Ⅱ)动直线的方程为： 　　由得 　　设 　　则　8分 　　假设在y轴上存在定点M(0，m)，满足题设，则 　　 　　　12分 　　由假设得对于任意的恒成立， 　　即 　　解得m＝1． 　　因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点， 　　点M的坐标为(0，1)．　14分