题目内容

在数列{an}中，a1＝2，an+1＝4an－3n＋1，n∈N*．

(Ⅰ)证明数列{an－n}是等比数列；

(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn；

(Ⅲ)证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．

答案：
解析：

　　本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．

　　(Ⅰ)证明：由题设，得

　　，．

　　又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．

　　(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知，于是数列的通项公式为

　　．

　　所以数列的前项和．

　　(Ⅲ)证明：对任意的，

　　

　　．

　　所以不等式，对任意皆成立．


练习册系列答案
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在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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