Question

12．一直线经过点P（$\sqrt{3}$，3），被圆x²+y²=4截得的弦长为2，求此弦所在的直线方程．

Answer 1

分析 由圆的方程求出圆心的坐标及半径，由直线被圆截得的弦长，利用垂径定理得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，再根据勾股定理求出弦心距，一下分两种情况考虑：若此弦所在直线方程的斜率不存在，显然x=$\sqrt{3}$满足题意；若斜率存在，设出斜率为k，由直线过P点，由P的坐标及设出的k表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于求出的弦心距列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而得到所求直线的方程．

解答 解：由圆的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
∵直线被圆截得的弦长为2，
∴弦心距=$\sqrt{3}$，
若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然x=$\sqrt{3}$满足题意；
若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为k，
∴所求直线的方程为y-3=k（x-$\sqrt{3}$），即kx-y-$\sqrt{3}$k+3=0
∴圆心到所设直线的距离d=$\frac{|-\sqrt{3}k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
此时所求方程为x-$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$=0，
综上，此弦所在直线的方程为x=$\sqrt{3}$或x-$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$=0．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的斜截式方程，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相交时，常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．