Question

4．如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥，求：
（1）三棱锥A′-BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥A′-BC′D的体积．

Answer 1

分析 （1）求出三棱锥A′-BC′D的棱长为$\sqrt{2}$a，即可求出三棱锥A′-BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
（2）利用割补法，即可求出三棱锥A′-BC′D的体积．

解答 解：（1）正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，则三棱锥A′-BC′D的棱长为$\sqrt{2}$a，表面积为4×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{2}$a）²=2$\sqrt{3}$a²，正方体表面积为6a²，
∴三棱锥A′-BC′D的表面积与正方体表面积的比值为$\sqrt{3}$：3；
（2）三棱锥A′-BC′D的体积为a³-4×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a³=$\frac{1}{3}$a³．

点评 本题考查三棱锥、正方体表面积、体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．