Question

已知O为坐标原点，点M（1+cos2x，1），N（1，

3

sin2x+a），且y=

OM

•

ON

，
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；       
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求a的值，并说明此时f（x）的图象可由y=2sin（x，

π

6

）的图象经过怎样的变换而得到．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积，以及两角和的正弦函数，化简函数的表达式，即可求y关于x的函数关系式y=f（x）；       
（2）通过x∈[0，

π

2

]，求出相位的范围，取得函数的最大值，利用f（x）的最大值为4，即可求a的值，由左加右减上加下减的原则f（x）的图象可由y=2sin（x，

π

6

）的图象经过变换而得到．

解答：解：（1）依题意得：

OM

=（1+cos2x，1），

ON

=（1，

3

sin2x+a），
y=

OM

•

ON

=1+cos2x+

3

sin2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a+1，（x∈R，a∈R，a是常数）
（2）若x∈[0，

π

2

]，则 2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
此时y_max=2+1+a=4，∴a=1．
故f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2的图象可由y=2sin（x+

π

6

）的图象上的点纵坐标不变，横坐
标缩小为原来的

1

2

倍，得到y=2sin（2x+

π

6

）的图象；再将y=2sin（2x+

π

6

）的图象上
的点横坐标不变，纵坐标向上平移2个单位长度得到．

点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，以及数量积的应用两角和的正弦函数的应用，考查计算能力．