题目内容
已知O为坐标原点，点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．
（Ⅰ）若
•
=
，求tanα的值；
（Ⅱ）若|
+
|=
，求
与
的夹角．
（Ⅰ）若
| AC |
| BC |
| 3 |
| 5 |
（Ⅱ）若|
| OA |
| OC |
| 7 |
| OB |
| OC |
分析：（1）先由
•
=
，求出sinα+cosα=
，再根据再cos2α+sin2α=1以及α的范围，可得
cosα和sinα的值，从而求得tanα的值．
（2）由
+
=（2+cosα，sinα），|
+
|=
，求得cosα=
，从而求得α的值．
| AC |
| BC |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
cosα和sinα的值，从而求得tanα的值．
（2）由
| OA |
| OC |
| OA |
| OC |
| 7 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）∵
•
=（cosα-2，sinα）•（cosα，sinα-2）=cos2α-2cosα+sin2α-2sinα
=1-2cosα-2sinα=
，
且 0＜α＜π，∴sinα+cosα=
．
再由 cos2α+sin2α=1 可得 cosα=-
，sinα=
，故tanα=-
．
（2）∵
+
=（2+cosα，sinα），|
+
|=
，
∴4+4cosα+cos2α+sin2α=7，解得cosα=
，
∴α=
．
| AC |
| BC |
=1-2cosα-2sinα=
| 3 |
| 5 |
且 0＜α＜π，∴sinα+cosα=
| 1 |
| 5 |
再由 cos2α+sin2α=1 可得 cosα=-
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
（2）∵
| OA |
| OC |
| OA |
| OC |
| 7 |
∴4+4cosα+cos2α+sin2α=7，解得cosα=
| 1 |
| 2 |
∴α=
| π |
| 3 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于中档题．
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