题目内容

已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点,证明EF为BD1与CC1的公垂线.

证法一:取BD中点M,连结MC、FM.?

∵F为BD1中点,?

∴FM∥D1D且FM= D1D.??

又EC=CC1且EC⊥MC,?

∴四边形EFMC是矩形.?

∴EF⊥CC1.?

又CM⊥面DB1,∴EF⊥面DBD1.?

∵BD1?面DBD1,∴EF⊥BD1.?

故EF为BD1与CC1的公垂线.?

证法二:建立如图所示的坐标系,得B(0,1,0),

D1(1,0,2),F(,,1),C1(0,0,2),E(0,0,1).?

∴=(,,0),  =(0,0,2),?

=(1,-1,2).?

∴·=0, ·=0,?

即EF⊥CC1,EF⊥BD1.?

故EF是CC1与BD1的公垂线.


练习册系列答案
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精英家教网如图所示，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，点E在棱AA1上，A1C∥平面EBD，截面EBD的面积为
2
2
．
（1）A1C与底面ABCD所成角的大小；
（2）若AC与BD的交点为M，点T在CC1上，且MT⊥BE，求MT的长．
已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标分别为A（0，0，0），B（2，0，O），D（0，2，0），A1（0，0，5），则C1的坐标为
（2，2，5）
（2，2，5）
．
已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD边长为1，高AA1=
2
，它的八个顶点都在同一球面上，那么球的半径是
 
．
如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1与它的侧视图（或称左视图），E是DD1上一点，AE⊥B1C．
（1）求证AE⊥平面B1CD；
（2）求三棱锥E-ACD的体积．
（2006•广州模拟）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=1，AA1=2，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点．
（Ⅰ）证明：EF⊥BD1；
（Ⅱ）求四面体D1-BDE的体积．

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