Question

已知抛物线C₁：y＝x²＋2x和C₂：y＝－x²＋a．如果直线l同时是C₁和C₂的切线，称l是C₁和C₂的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段．

(1)a取什么值时，C₁和C₂有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程．

(2)若C₁和C₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：函数y＝x2＋2x的导数＝2x＋2，曲线C1在点P(x1，＋2x1)的切线方程是y－(＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－．① 　　函数y＝－x2＋a的导数＝－2x，曲线C2在点Q(x2，＋a)的切线方程是y－(＋a)＝－2x2(x－x2)，即y＝－2x2x＋＋a．② 　　如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程消去x2得方程2＋2x1＋1＋a＝0，此方程Δ＝4－4×2(1＋a)． 　　由Δ＝0，得a＝－，解得x1＝－，此时P与Q重合，即当a＝－时，C1和C2有且仅有一条公切线． 　　由①得公切线方程为y＝x－． 　　(2)证明：由(1)可知，当a＜－时，C1和C2有两条公切线，设一条公切线上切点为P(x1，y1)、Q(x2，y2)，其中P在C1上，Q在C2上，则有x1＋x2＝－1，y1＋y2＝＋2x1＋(＋a)＝＋2x1－(x1＋1)2＋a＝－1＋a，线段PQ的中点为(－，)． 　　同理，另一条公切线段的中点也是(－，)， 　　所以公切线段PQ和互相平分。