Question

已知抛物线c₁：y＝x²＋2x和c₂：y＝－x²＋a．如果直线l同时是c₁和c₂的切线，称l是c₁和c₂的公切线．公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．

(1)a取什么值时，c₁和c₂有且仅有一条公切线？写出此公切线方程．

(2)若c₁和c₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：函数y＝x2＋2x的导数＝2x＋2，曲线c1在点P(x1，x12＋2x1)的切线方程是y－(x12＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x12　　① 　　函数y＝－x2＋a的导数为＝－2x，曲线c2在点Q(x2，－x22＋a)处的切线方程是y－(－x22＋a)＝－2x2(x－x2)，即y＝－2x2x＋x22＋a　　② 　　如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，所以消去x2得方程2x12＋2x1＋1＋a＝0． 　　若判别式Δ＝4－4×2(1＋a)＝0，即a＝，解得x1＝．此时点P与Q重合，即当a＝时，c1和c2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为． 　　(2)证明：由(1)知，当a＜时，c1和c2有两条公切线．设一条公切线上的切点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中P在c1上，Q在c2上，则有x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x12＋2x1＋(－x22＋a)＝x12＋2x1－(x1＋1)2＋a＝－1＋a，线段PQ的中点坐标为()． 　　同理，另一条公切线段的中点坐标也是()，所以公切线段PQ和互相平分．