题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
1
2
，且过点P（1，
3
2
）．
（l）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l 与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且△OAB的面积为
6
2
7
，求l的方程．
分析：（1）利用椭圆的离心率e=
1
2
，且过点P（1，
3
2
），建立方程，求得几何量，由此可得椭圆的方程；
（2）设出l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，求得|AB|，求出O到直线l的距离，利用△OAB的面积为
6
2
7
，即可求l的方程．
解答：解：（1）由题意有：
c
a
=
1
2
1
a2
+
9
4
b2
=1
a2=b2+c2
，可求得：a=2，b=
3
，
所以，椭圆C的方程：
x2
4
+
y2
3
=1
（2）设直线l：y=x+n，由
y=x+n
x2
4
+
y2
3
=1
，消去y可得：7x2+8nx+4n2-12=0　　①
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
8n
7
，x1x2=
4n2-12
7
，
所以|AB|=
1+1
×
(-
8n
7
)2-4×
4n2-12
7
=
4
6
7
×
7-n2

又O到直线l的距离为d=
|n|
2

所以S△OAB=
1
2
×
2
|n|
2
×
4
6
7
7-n2
=
6
2
7
，
解得n=±1或n=±
6
，代入①式，△＞0，
所以直线l为：y=x±1或y=x±
6
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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