Question

如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝．等边三角形ABD以AB为轴运动．

(1)当平面ABD⊥平面ABC时，求CD的长；

(2)当△ABD转动时，是否总有AB⊥CD？并证明此结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)取AB的中点E，连接CE，DE． 　　因为△ABD是等边三角形， 　　所以DE⊥AB． 　　当平面ABD⊥平面ABC时， 　　平面ABD∩平面ABC＝AB， 　　DE平面ABD， 　　所以DE⊥平面ABC． 　　而CE平面ABC， 　　所以DE⊥CE． 　　由已知，可得DE＝，CE＝1． 　　在Rt△CDE中，CD＝＝2． 　　(2)当△ABD以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．证明如下： 　　①当D在平面ABC内时， 　　因为AC＝BC，AD＝BD， 　　所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD． 　　②当D不在平面ABC内时， 　　因为AC＝BC， 　　所以AB⊥CE． 　　又由(1)知AB⊥DE，DE∩CE＝E， 　　所以AB⊥平面CDE． 　　而CD平面CDE， 　　所以AB⊥CD． 　　综上可知，总有AB⊥CD． 　　寻线历程：已知平面α⊥β，且α∩β＝a，一般先在平面α(或β)内寻找或作一条直线m垂直于交线a，然后运用面面垂直的性质定理可得m⊥β(或m⊥α)．即从条件出发，步步为营，即可证得结论． 　　综观上述问题，为架起已知和未知的桥梁，可采取步步为营的战术，即从题目的条件入手，正向分析已有的垂直关系；而当从条件难以找到突破口时，可采取迂回战术，即转化为从结论入手逆向分析所要证明的垂直关系；或者将结论与条件两方面“对接”，从而找到解决问题的关键．