Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a，x=1}\\{（\frac{1}{2}）^{|x-1|}+1，x≠1}\end{array}\right.$，若方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有5个不同的实数解，则a的范围是（　　）

• A． （1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2）
• B． （1，2）∪（2，3）
• C． （1，+∞）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 解方程可得f（x）=a或f（x）=$\frac{3}{2}$，讨论若a=$\frac{3}{2}$，可得原方程有3个不等实根；只要1+（$\frac{1}{2}$）^|x-1|=a有2个不等实根即可．运用指数函数的单调性，即可得到所求a的范围．

解答 解：方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0，
解得f（x）=a或f（x）=$\frac{3}{2}$，
若a=$\frac{3}{2}$，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a，x=1}\\{（\frac{1}{2}）^{|x-1|}+1，x≠1}\end{array}\right.$，
可得x=1或0或2，不满足题意；
则a≠$\frac{3}{2}$，
由f（x）=$\frac{3}{2}$，可得原方程有3个不等实根；
只要1+（$\frac{1}{2}$）^|x-1|=a有2个不等实根即可．
由|x-1|＞0可得0＜（$\frac{1}{2}$）^|x-1|＜1，
即有1＜a＜2，
综上可得a∈（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2）．
故选：A．

点评 本题考查方程的解的个数问题，注意运用分类讨论思想方法和转化思想，考查指数函数的性质，以及运算能力，属于中档题．