Question

已知A（3，-2，1），B（1，1，1），O为坐标原点．
（1）写出一个非零向量

c

，使得

c

⊥平面AOB；
（2）求线段AB中点M及△AOB的重心G的坐标；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）写出一个非零向量

c

，要使得

c

⊥平面AOB；只要向量

c

与平面AOB内的两个向量的数量积都是0，即可．
（2）根据公式直接求线段AB中点M及△AOB的重心G的坐标；
（3）要求△AOB的面积，只要求OA、OB的长度，再求其夹角的正弦即可求解．

解答：解：（1）设非零向量

c

=（x，y，z），要使得

c

⊥平面AOB；
则

c

•

OA

=0 且 

c

•

OB

=0即3x-2y+z=0 且x+y+z=0
令 x=3 则  y=2  z=-5；非零向量

c

=（3，2，-5）
（2）线段AB中点M（

1+3

2

，

1-2

2

，

1+1

2

）即(2，-

1

2

，1)；
△AOB的重心G的坐标(

1+3

3

，

1-2

3

，

1+1

3

)即(

4

3

，-

1

3

，

2

3

)．
（3）|OA|=

32+(-2)2+1

=

14

，|OB|=

3

∴cos∠AOB=

OA • OB

|0A||OB|

=

3-2+1

14 • 3

=

42

21

sin∠AOB=

399

21

S_△AOB=

1

2

×

14

× 

3

×

399

21

=

38

2

．

点评：本题考查空间向量的数量积的运算，三角函数的基本关系，是中档题．